一、二分法

二分法的思想很简单，就是从0到N不断的去缩小范围来找一个一个满足精度的最佳值。我们举一个函数的例子：

这就是二分法的思想，求平方根也是，我们从0到value取出中间值，然后不断地比较，假设value=10，查找区间为（0，10），这时候取（0,10）的中间值mid=5，mid*mid再和value比较之后，确定下一次查找的区间变为（0，5），依次类推。一直到满足我们需要的精度即可。下面我们使用java代码实现一下：

    static double MySqrt(int value, double t){
        if (value < 0 || t<0)
            return 0;
        double left = 0;
        double right = value;
        double mid = (right + left) / 2;
        double offset = 2*t ;
        while (offset>t){
            double temp = mid*mid;
            if (temp > value){
                right = (left + right) / 2;
                offset = temp - value;
            }
            if (temp <= value){
                left = (left + right) / 2;
                offset = value - temp;
            }
            mid = (left + right) / 2;
        }
        return mid;
    }

在这里value就是我们要求的数字，t表示的是精度。这个方法在这，大家可以测试一遍。不过在这里有一个小小的问题需要我们去注意：

如果我们对整数9取平方根，结果不是3，这里有精度损失，损失的原因之一是和计算机有关的，因为计算机的底层其实只有0和1，所以会无限的接近，而不能精确表示。

以上就是二分法求解的思想，这个思想很简单，不过实现的方法却是有一点点麻烦。在这里我们开始介绍第二种方法，那就是牛顿的微积分思想

二、牛顿迭代法

牛顿的微积分的思想就是无限接近，在这里提一句，如果你是数学大佬就不要追究思想到底是啥了。对于求平方根来说，使用切线来无限逼近的方式有时候能起到意想不到的效果。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，

L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。

重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

我们使用一张图来演示一下：

这种方式也很好理解。所以我们直接来看实现：

static double SqrtIterator(int value,double t){
    double temp = value;
    while (fabs(temp*temp-value)>t){
        temp=(temp+value/temp) / 2.0;
    }
    return temp;
}
//取绝对值
private static double fabs(double a) {
    return (a < 0) ? -a : a;
}